此为 数学漫谈 的第三篇, 本文第一部分来聊一聊泛函分析中集合的关系, 为我 Functional Analysis 第一章中关于闭性和完备性的补充. 不过按照目前的进度, 面世大约是两三年之后的事情了.

Hugo 不支持数学公式, 大家自行把 LaTeX 语法脑补成数学符号吧. 换了个主题之后, 支持 LaTeX 语法了.

1. Relation

关于闭集, 紧集, 完备集的关系, 笔记中由于限于篇幅没有展开, 这里补充一下不同空间中集合的关系.

这里列紧即相对紧 (relative compact), 自列紧即为任意序列的极限点也在该集合.

预紧: 我们称 E 是预紧的, 如果 E 中任一序列都存在 Cauchy 子列.

2. Detail

有了这些性质, 我们接下来继续说一下不同空间的关系.

$$ R^n \subset 有限维赋范线性空间 \subset 完备赋范线性空间 \subset 赋范线性空间 \subset 度量空间 \subset 拓扑空间 $$

我们在欧氏空间中任取一个有界闭集 A, 它在连续映射下的像 f(A) 仍是有界闭集, 这是很好的性质. 但是在无穷维线性空间中, 原本紧致的空间变得松散, 因此「有界闭集」也随之松散.

考虑一维闭区间和全体实数 R 的关系, R 上的点不在紧密, 需要一致紧化才能将无穷涵盖进去.

这也是为什么我们强调连续泛函在有界闭集下的像不一定闭, 甚至不一定有界.

这不是我们想要的, 所以进入 「完全有界」, 而在完备的度量空间中: 「紧 ~ 自列紧 ~ 完全有界」三者等价, 这是我们想要的, 因为紧可以近似看作有限维.

其实如果仔细观察对完全有界的定义, 发现和紧集非常类似, 只不过紧集是开集覆盖, 而完全有界是用开球覆盖.

但是这只是对完备空间而言, 如果一个空间压根就不完备, 「完全有界」就不在和「列紧」等价, 不再可以和紧集挂上钩.

现在让我们回顾一下我们学习的历程: 实轴, 欧氏空间, 无穷维赋范空间, Banach 空间.

实际上跨越就在欧氏空间到无穷维赋范空间, 也就是这里空间变得松散, 有界和紧不再等价. 至于为什么紧集能一路到最后, 是因为紧集本身就是个拓扑概念.

最后再说一下, 为什么我们对于紧性总是想要, 但又总是用别的性质代替. 这是因为紧性太特殊, 想要证明空间紧需要同时满足无穷种情况, 而不论是「有界」「完全有界」「列紧」其实都可以很轻易地看出来. 而且虽然紧性代表着完备, 放在完备空间不易证明, 放在非完备的空间不如开集, 所以对它才会有矛盾的心理

最后来一个之前看到的 小故事 作为结束吧. 这个小故事想写进笔记里, 但是限于英文水平不够, 没想写进去. 如果哪位读者英文水平高且有意向, 请联系我.

有界闭集、紧集就像普通人和学神，老师考他们欧式空间的内容，都能考100分，好像看不出区别。

老师加大难度，考关于无穷维的题目，有界闭集就只能考80分，于是疯狂补课进化成学霸——完全有界集，还是只能靠90，除非开挂（加上闭性）才能考100。

然后老师丧心病狂地说：这道题我不给你完备性，看你们怎么证？完全有界集哭了，不开挂只能考80了，但学神紧集还是妥妥的100。

最后老师想试试如果考一般的拓扑空间呢？然后完全有界集奔溃了：拓扑空间连 “界” 这个概念都没有我玩个屁，告辞，连夜买火车票走了。

再看紧集，也冥思苦想不得结果，这时扫地大妈过来看了一眼，两三下就把卷子做完扬长而去。

紧集大惊，跑到楼下看职工表，大妈的头像下赫然写着两个字：「开集」！